Prawdopodobieństwo

Prawdopodobieństwo – funkcja P(X), która przyporządkowuje każdemu elementowi zbioru zdarzeń losowych pewną nieujemną wartość rzeczywistą i ma następujące własności:

• P(Ω) = 1, gdzie Ω jest przestrzenią zdarzeń elementarnych
• prawdopodobieństwo sumy przeliczalnego zbioru zdarzeń parami rozłącznych jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń:

Wartość P(X) nazywa się prawdopodobieństwem zdarzenia X.

Ważniejsze własności prawdopodobieństwa:

• P(A) ≥ 0
• P(Ø) = 0 (UWAGA: odwrotna implikacja nie jest prawdziwa - P(A)=0 nie implikuje A=Ø)
• A ⊂ B ⇒ P(A) ≤ P(B)
• P(A) ≤ 1
• A ⊂ B ⇒ P(B|A) = 1
• P(A) + P(A') = 1, gdzie A′ oznacza zdarzenie losowe przeciwne do A
• P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B).

Prawdopodobieństwo w ujęciu potocznym

Potocznie prawdopodobieństwo to pojęcie określające nasze oczekiwania co do rezultatu danego zdarzenia, którego wyniku nie znamy (niezależnie od tego czy jest ono w jakimś sensie zdeterminowane czy też nie, ani też od tego czy miało miejsce w przeszłości czy dopiero się wydarzy). Jeśli jakieś mające nastąpić zdarzenie (np. rzut kostką), może przyjąć kilka rezultatów (liczba oczek), to jeden z rezultatów (liczba oczek większa od 1) możemy opisać jako uznawany przez nas za bardziej prawdopodobny od drugiego (liczba oczek równa 1), jeżeli na podstawie jakiejś przesłanki (np. poprzednich doświadczeń), nasze oczekiwania co do wystąpienia rezultatu A są większe niż co do wystąpienia rezultatu B.

Definicja prawdopodobieństwa w oparciu o subiektywne odczucia jest oczywiście zupełnie nieprzydatna dla celów praktycznych. Brak sformalizowanej definicji musieli szczególnie dotkliwie odczuwać pierwsi "praktycy" teorii prawdopodobieństwa, czyli nałogowi hazardziści. Jeśli rzucimy monetą 50 razy i za każdym razem wyrzucimy reszkę, nie oznacza to, iż jest bardziej prawdopodobne, że przy 51 rzucie wypadnie orzeł.

Prawdopodobieństwo a częstość

Przypuśćmy, że ktoś zaproponował nam grę losową: "orzeł wygrywamy, reszka przegrywamy". Na pewno zanim zagramy, będziemy chcieli zbadać jakie są szanse wygranej, przeprowadzamy więc doświadczenie, polegające na wielokrotnym rzucie monetą. Rzucamy 100 razy, orzeł wypadł 48 razy, a więc w 48/100 = 0,48 wszystkich przypadków. Kontynuujemy doświadczenie, po 1000 rzutów orzeł wypadł 508 razy, czyli w 508/1000 = 0,508 wszystkich przypadków. Zaobserwowaliśmy, że badany przez nas iloraz jest ciągle bliski wartości 0,5. Znaleziona przez nas wielkość to częstość wypadania orła. Teraz mamy już pewne wyobrażenie o zaproponowanej grze.

Co jednak stałoby się, jeśli nie mielibyśmy możliwości przeprowadzenia doświadczenia? Chcielibyśmy mieć możliwość obliczenia prawdopodobieństwa wyrzucenia orła przed pierwszym rzutem. Możemy zauważyć, że są tylko dwa rezultaty: orzeł i reszka. Jeżeli moneta nie jest oszukana, tzn. obydwa rezultaty są jednakowo możliwe, orzeł powinien pojawić się w 1/2 = 0,5 możliwych przypadków. Obliczyliśmy prawdopodobieństwo zdarzenia bez konieczności przeprowadzania doświadczenia.

Definicja klasyczna (Laplace'a)

Sposób liczenia prawdopodobieństwa z poprzedniego przykładu podał po raz pierwszy Pierre Simon de Laplace w roku 1812. Definicję tę nazywamy klasyczną:

Prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia A nazywamy iloraz liczby zdarzeń sprzyjających zdarzeniu A do liczby wszystkich możliwych przypadków, zakładając, że wszystkie przypadki wzajemnie się wykluczają i są jednakowo możliwe.

Definicję tę można zapisać również w bardziej formalny sposób:

Oznaczmy zbiór wszystkich możliwych przypadków przez Ω. Elementami zbioru Ω są zdarzenia elementarne ω, zaś zbiór Ω to zbiór zdarzeń elementarnych. Zbiór zdarzeń sprzyjających A będzie w takim wypadku podzbiorem zbioru Ω: A ⊂ Ω.

Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A możemy zapisać w postaci:

gdzie |A| oznacza liczbę elementów (moc) zbioru A, zaś |Ω| liczbę elementów (moc) zbioru Ω.

Przykład: Rzucamy sześcienną kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo, że liczba oczek będzie większa od 5?

Odpowiedź: Zbiór zdarzeń elementarnych Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, zatem liczba możliwych zdarzeń |Ω| = 6. Zbiór zdarzeń sprzyjających A = {6}, liczba zdarzeń sprzyjających |A| = 1. Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia wynosi:

Prawdopodobieństwo geometryczne

Definicja klasyczna nie pozwala obliczać prawdopodobieństwa w przypadku, gdy zbiory A i Ω są nieskończone, jeśli jednak zbiory te mają interpretację geometryczną, zamiast liczebności zbiorów można użyć miary geometrycznej (długość, pole powierzchni, objętość).

Przykład: z przedziału [0,4] wybieramy losowo punkt. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wybrany punkt będzie należał do przedziału [1,2]?

Odpowiedź: Długości przedziałów wynoszą odpowiednio: |[0,4]| = 4 i |[1,2]| = 1. Zatem prawdopodobieństwo opisanego zdarzenia wynosi:

Problemy z definicją klasyczną

Definicja klasyczna pozwala obliczać prawdopodobieństwo w prostych przypadkach, jednak zawiera szereg wad: nie można jej stosować dla zbiorów nieskończonych, a przede wszystkim zawiera błąd logiczny. Zdarzenia elementarne muszą być jednakowo możliwe, co znaczy przecież to samo co jednakowo prawdopodobne. Okazało się więc, że w definicji użyliśmy pojęcia, które definiujemy.

Podobne problemy dotyczą prawdopodobieństwa geometrycznego - zauważył to Joseph Louis Francois Bertrand opisując paradoks nazywany jego nazwiskiem – paradoks Bertranda.

Definicja częstościowa (von Misesa)

Inną próbę sformułowania definicji prawdopodobieństwa podjął w 1931 roku Richard von Mises. Zaproponował, żeby zdefiniować prawdopodobieństwo jako granicę ciągu częstości:

gdzie k_n(A) to liczba rezultatów sprzyjających zdarzeniu A po n próbach.

Definicja ta nie mówi jednak nic o warunkach istnienia granicy i dlatego nie spełnia wymogów formalnych.

Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa (Kołmogorowa)

Nową definicję prawdopodobieństwa podał w 1933 Andriej Kołmogorow, który korzystając z teorii miary zaksjomatyzował teorię prawdopodobieństwa.

Załóżmy, że Ω jest zbiorem zdarzeń elementarnych ω, zaś M jest σ-ciałem na zbiorze Ω. Prawdopodobieństwem nazywamy funkcję P: M → R spełniającą następujące warunki:

1. P(A) ≥ 0 dla każdego A ∈ M
2. P(Ω) = 1
3. jeśli (A_n) jest dowolnym ciągiem podzbiorów M parami rozłącznych, to:

Alternatywną aksjomatyzację pojęcia prawdopodobieństwa podał Richard Threlkeld Cox.

Zobacz też

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki,
• teoria prawdopodobieństwa,
• aksjomaty Kołmogorowa,
• statystyka,
• prawdopodobieństwo obiektywne,
• prawdopodobieństwo subiektywne,
• twierdzenie Bayesa,
• miara,
• iloraz szans